Expectancy, Edge e la verità sul Money Management

La virtù del calcolo dell’Expectancy sta nel fatto che in un unico valore vengono combinate alcune informazioni molto importanti circa l’opportunità di sostenere un certo investimento: la probabilità che questo investimento vada a buon fine e la relazione che questa probabilità instaura con la remunerazione del rischio sottesa a tale investimento.

In particolare questa relazione è definita come segue:

E = W x P(W) - L x P(L)

Dove W è il profitto medio delle operazioni vincenti, L quello delle operazioni perdenti e P(W) e P(L) le rispettive probabilità di realizzazione.

Nella realtà dei trading system questo valore è incalcolabile in quanto nessuno degli elementi detti è noto. Ciò che abbiamo a disposizione, infatti, non è l’insieme di tutti i trade che il sistema ha generato e genererà (che sarebbe idealmente necessario per calcolare il valore corretto di E), ma il suo sottoinsieme dei trade prodotti nell’arco di tempo analizzato dal backtest.

Questa approssimazione è l’origine dell’uguaglianza con l’average trade, che per definizione è calcolato su tale sottoinsieme. Potremmo dire che l’average trade è una stima dell’expectancy del sistema: maggiore la numerosità del campione (quindi il numero dei trade), maggiore la precisione della stima.

L’impossibilità di calcolarla con precisione rende il concetto di expectancy inutilizzabile nel trading? Non del tutto: vediamo il perché.

Parlando di expectancy, l’ambito che più ne semplifica la comprensione è, purtroppo, quello meno adeguato quando si parla di trading e investimenti: il gioco d’azzardo. Il gioco d’azzardo, infatti, è per certi versi, simile al trading: in entrambi i casi l’utente accetta un rischio in cambio dell’opportunità di un guadagno. La differenza tra gioco d’azzardo e trading, che è anche alla base del rigetto incondizionato del gioco per un individuo razionale, è che nel gioco d’azzardo tutti i valori che rientrano nella definizione dell’expectancy sono noti, e questo ne semplifica la discussione.

Prendiamo, ad esempio, la roulette francese, con due possibili scommesse: quella sul colore, e quella sul numero singolo, e calcoliamone l’expectancy.

Ci sono 18 caselle rosse, 18 caselle nere e una casella verde. In caso di vittoria la scommessa è pagata con un incremento della nostra equity pari al valore a rischio, mentre in caso di sconfitta, l’equity si riduce di un’entità pari all’importo rischiato.

Poniamo, ad esempio, che l’ammontare della scommessa sia di 1€, e di puntare sul rosso. Per calcolare le probabilità di vittoria si usa il seguente approccio: si prende il numero di casi che ci fanno vincere e si guarda che porzione rappresentano del totale dei casi possibili.

Nel nostro caso:

P(W) = 18rosso / (18rosso + 18nero + 1verde) = 48.6%

La probabilità di perdere invece sarà uguale a tutti i casi restanti, ovvero 100% - 48.6% = 51.4%.
La vittoria, come abbiamo detto vale 1€, e la sconfitta -1€. Quindi l’expectancy è:

E = 1x48.6% - 1x51.4% = -0.027€

Questo valore, -0.027€, va interpretato come l’ammontare vinto o perso (in questo caso perso) ogni volta che decidiamo di scommettere. Fondamentalmente è l’average trade del gioco della roulette.

L’enorme importanza di questo valore, tanto per il giocatore d’azzardo quanto per lo sviluppatore di trading system, deriva dalla cosiddetta Legge dei Grandi Numeri.

La Legge dei Grandi Numeri, anche detta Legge Empirica del Caso, è quella legge che sembra imporre all’universo di far convergere le realizzazioni alle attese, a patto che venga effettuato un sufficiente numero di esperimenti. In parole povere è quella legge che ci permette di fidarci del fatto che più volte lanciamo una moneta, più il numero di teste e di croci sarà vicino al 50% del totale dei lanci.

Nel nostro caso la Legge dei Grandi Numeri suggerisce che più volte puntiamo (su rosso o sul nero) più ci avviciniamo alla certezza che avremo perso mediamente 0.027€ per ogni Euro scommesso. La dimostrazione è affidata al grafico di Figura 1, dove si osserva l’andamento del profitto medio della scommessa sul rosso all’aumentare del numero di giocate (asse orizzontale): la sua convergenza al valore atteso (negativo) non è solo evidente, ma è anche piuttosto rapida.

Figura 1 mostra come, al netto di qualche shock iniziale, il rendimento medio della scommessa tende alla sua expectancy.

L’expectancy non ci da alcuna indicazione sulla “rischiosità” dell’investimento.

Ripetiamo i conteggi appena effettuati, considerando però questa volta la scommessa sul numero singolo: 1 caso favorevole su 37, e una corrispondente vincita pari a 35 volte il rischio assunto.

L’expectancy è:

 E = 35 x 2.7% - 1 x 97.3% = -0.027

Non dovrebbe sorprenderci ritrovare la stessa expectancy della scommessa sul colore.

Il gioco della roulette, per come è stato concepito, ha un’expectancy identica su ogni possibile puntata. Non importa su cosa, o con quale modalità voi scommettete, il casinò guadagnerà 2.7 centesimi di Euro per ogni Euro che voi scommettete, in media, sui grandi numeri.

Come mai allora, intuitivamente, noi percepiamo le due scommesse come così diverse tra loro?

La risposta sta nel rischio, che come detto l’expectancy non coglie.

La scommessa sul numero singolo è estremamente più rischiosa per il Casinò, perché l’equity che ne deriva è estremamente più volatile di quella ottenuta accettando le puntate sul colore. Possiamo confrontare le due equity in Figura 2.

Come si vede le due equity vanno nella stessa direzione: esse hanno infatti la stessa expectancy.

Non vi è alcun dubbio, tuttavia, che l’equity della scommessa sul colore scenda in maniera molto più efficiente, lasciando meno margine al caso. La scommessa sul singolo numero, al contrario, oscilla in modo molto più violento. Questo fenomeno è dovuto al fatto che dopo 37 scommesse, in media, nel caso della scommessa sul colore si avranno 18 vittore e 19 sconfitte, di uguale entità, distribuite più o meno equamente. Nel caso della scommessa sul numero singolo, invece, si avranno 1 vittoria molto importante, e 36 sconfitte molto piccole tutte di seguito distribuite in due blocchi, come schematizzato in Figura 3.

Questa incertezza ai Casinò non piace, e per controllarla impongono limiti di puntata molto più bassi nelle scommesse con payoff più alti. La puntata massima sul numero singolo è solitamente dalle 5 alle 10 volte più piccola rispetto alla puntata massima sul colore, e non è un caso: la deviazione standard dei rendimenti delle scommesse sui numeri singoli, infatti, è 6 volte maggiore di quella sul colore.

Imporre limiti di puntata più restrittivi è una misura necessaria di controllo del rischio per il Casinò, ma che probabilmente fa “a malincuore”. Ridurre a un sesto la scommessa media, oltre a standardizzare il rischio tra le due scommesse, riduce però di fatto a un sesto l’expectancy del sistema “puntata sul numero singolo”, quindi il guadagno del Casinò.

Si può affermare, almeno sulla roulette, che i Casinò non guadagnano tanto sui numeri, ma sui colori.

Il risultato è che il portafoglio di un Casinò è allocato in maniera estremamente poco efficiente: per omogeneizzare il rischio sulle scommesse di cui è controparte, il banco è costretto a vincolare i giocatori a ridurre l’esposizione sulle scommesse più rischiose, sebbene abbiamo la stessa expectancy delle altre, riducendo così i suoi guadagni. Per trovare un’analogia con il trading, le sale da gioco sono costrette a utilizzare contemporaneamente strategie i cui profili di rischio/rendimento variano sensibilmente da una strategia all’altra. Se ne avesse la possibilità, il banco obbligherebbe tutti i giocatori a scommettere sulle giocate binarie, come rosso/nero o pari/dispari, ma l’esperienza di gioco ne risentirebbe, ed è quindi costretto a sacrificare (=investire) parte dei suoi rendimenti per rendere il gioco più emozionante (=rischioso) e attrarre dunque più clienti.

Cosa può modificare l’expectancy di un sistema? Non il Money Management.

Nessuna tecnica di position sizing ha il potere di “migliorare” o “peggiorare” il profilo di rischio di un sistema di scommesse. Questo non vuol dire che non bisogna utilizzare logiche di dimensionamento della posizione, ma che da sole non possono essere la risposta alla domanda “come faccio a trasformare questo sistema mediocre in un buon sistema?”.

Solo lavorando sulla componente predittiva (sulla ricerca di un edge,
di un vantaggio), possiamo variare l’expectancy del sistema.

Approfondiamo meglio questi aspetti legati al Money Management (position sizing) e alla Gestione della Posizione nel corso Trading System & Money Management in partenza il mese prossimo. Il programma di questa giornata è molto ricco e spazia dalle presentazione delle logiche di dimensionamento della posizione (codifcate in easy language, e messe a disposizione a codice aperto), alle diverse alternative di gestione della posizione, fino al Controllo sull'Equity e alle maniere per sfruttare la Trade Dependency: qui trovi tutti i dettagli. 

Questa giornata fa parte del percorso Trading System Academy in partenza nelle prossime settimane. 

Come individuare e misurare questo Edge (=vantaggio) è invece oggetto di altre due giornate del percorso:

1) Trading Automatico (dove mettiamo a disposizione, a codice aperto e dal 2013, 5 Trading system per lavorare diversi mercati con logiche multiday)

2) IntraDay Trading System (dove mettiamo a disposizione 5 classi di Trading System, sempre a codice aperto, per operare intraday)

Ognuno di questi trading system è l'occasione per approfondire specifiche tecniche di validazione e analisi della robustezza di una strategia meccanica, per cercare di individuarne le fragilità e prevenire l'overfitting. 

...ma proviamo ad approfondire meglio cosa intendiamo con il concetto di "edge". Per componente predittiva (o edge) si intende una qualsiasi formulazione di regole che, a partire dalle informazioni disponibili, sviluppino una previsione di ciò che accadrà in futuro e agiscano di conseguenza. Nel caso della roulette, per riprendere l’esempio utilizzato nel precedente articolo, abbiamo tutte le informazioni necessarie sul gioco in quanto ne conosciamo il funzionamento, per come è concepito. Possiamo fare, quindi, la scommessa giusta prevedendo ciò che accadrà in futuro. Conoscendo, infatti, le dinamiche del gioco, le probabilità a esso collegate, e i payoff delle varie scommesse, il set di regole da seguire per guadagnare alla roulette è semplice:

1. Fai il banco
2. Se non puoi essere il banco stai a casa
3. Se sei il banco gioca più rapidamente possibile e fai di tutto per allocare quanto più capitale sulle scommesse a payoff più basso.

Nei trading system, come abbiamo già osservato in diverse occasioni, le cose non sono altrettanto chiare, in quanto queste sono le informazioni che abbiamo a disposizione:

1. Il prezzo presente e passato dello strumento su cui intendiamo applicare un sistema
2. Il prezzo presente e passato di un set di altri strumenti
3. L’andamento (i risultati) presente e passato del sistema di trading che stiamo utilizzando

Questa lista può proseguire ed includere altri elementi: dalle condizioni macroeconomiche ad eventi specifici legati alla serie storica in esame, ma ai nostri fini ci limiteremo alle 3 elencate poc’anzi.

L’informazione contenuta nel primo punto è quella che usiamo quando scriviamo trading system come il seguente:

Compra quando il prezzo taglia verso l’alto una media mobile a 10 periodi, vendi quando la taglia verso il basso. Chiudi la posizione dopo 5 giorni.

Nell’atto di comprare risiede la previsione: il taglio della media mobile ci funge da predittore sul prezzo futuro tra 5 giorni, quando usciremo dal trade. La nostra previsione è che il prezzo sarà maggiore, e quindi entriamo long.

L’informazione contenuta nel secondo punto è quella che sfruttiamo quando dobbiamo decidere come operare su uno strumento guardando un paniere più largo di strumenti, filtrando, ad esempio, le operazioni su una compagnia di estrazione di argento sulla base dell’andamento del settore, e del prezzo dell’argento stesso.

Il terzo punto invece è quello che usiamo quando applichiamo logiche di position sizing figlie di determinate caratteristiche ricorrenti del nostro sistema. Il sistema potrebbe presentare una fortissima trade dependency, ad esempio, e indicare che dopo un trade perdente, nel 95% dei casi presi in esame segue un trade vincente. Sapendo che il sistema arriva da un trade perdente, potremmo incrementare il capitale investito sul prossimo trade, per spostare il rischio verso le operazioni con expectancy più alta.

Ognuno dei tre esempi appena fatti ha il potere di muovere l’expectancy del sistema, in quanto agisce in modo predittivo per selezionare specifiche finestre temporali o di opportunità in cui le probabilità giocano a nostro favore. Dalla qualità di questa previsione dipende la bontà del sistema risultante.

Quando parliamo di trading, la previsione non deve necessariamente essere così accurata come nel caso della trade dependency a cui si faceva riferimento poco fa. Ciò che conta, è che quando il sistema guadagna, guadagni abbastanza da compensare l’entità della perdita, quando perde (o, se preferite, l’importante è che il sistema abbia un’expectancy maggiore di zero).

Spesso si parla di inefficienza per indicare una componente prevedibile nei mercati, frutto dell’osservazione delle informazioni disponibili, per quanto piccola, nascosta e sommersa nel rumore.

La ricerca di tali inefficienze è alla base del lavoro dello sviluppatore di trading system, in quanto è sul loro sfruttamento che si può implementare un sistema profittevole.

Nella matematica finanziaria spesso si parla di “Ipotesi dei mercati efficienti”: essa postula che tali efficienze non esistano, ma più in dettaglio, tre sono le forme di efficienza a cui si fa riferimento in letteratura:

- Efficienza in forma debole: i prezzi passati non portano con sè alcuna informazione sui prezzi futuri, in quanto tali informazioni vengono istantaneamente prezzate dal mercato.

- Efficienza in forma semi-forte: qualsiasi informazione di dominio pubblico (inclusi prezzi storici, dati di bilancio, dati di raccolto…) non porta con sè alcuna informazione sui prezzi futuri, in quanto viene istantaneamente prezzata dal mercato.

- Efficienza in forma forte: qualsiasi informazione, pubblico o riservata, non porta con sè alcuna informazione sui prezzi futuri.

L’attività di trading, in generale, fonda le sue basi sul fatto che questi postulati non siano veri.

Se il mercato fosse efficiente, qualsiasi finestra di opportunità svanirebbe prima di diventare sfruttabile. Tali postulati sono ormai ritenuti anche da larga parte del mondo accademico, non corretti. L’ipotesi forte è negata dall’insider trading che, sebbene illegale, è forse la più profittevole delle strategie. L’ipotesi semi-forte è negata dal value investing: sostenere l’efficienza semi-forte, equivale a sostenere che Warren Buffet abbia costruito un impero non sull’abilità nell’identificare affari, ma sulla fortuna. L’ipotesi in forma debole è negata dall’esistenza di trading system profittevoli; sostenere l’efficienza debole, equivale a sostenere che il fondo di James Simons sia il migliore del mondo non per l’abilità analitica e tecnica del suo team, ma solo per “caso”. Ed equivale a sostenere che il fatto che l’indice S&P500 abbia mostrato un carattere mean reverting ed un bias rialzista sui dati storici a nostra disposizione non ci dice nulla sul suo carattere futuro e che un trading system fondato su queste sue proprietà, se genera profitto, lo fa solo per “caso”.

Che tali ipotesi non riflettano la realtà è assodato, ma ciò non significa che non siano utili a creare un framework più semplice in cui studiare i mercati: per questo vengono utilizzate nella finanza quantitativa.

L’ipotesi di mercati efficienti, ad esempio, giustifica l’utilizzo del moto browniano come modello di analisi, e partendo da prezzi gaussiani, è possibile derivare metodi di pricing delle opzioni quali il modello di Black e Sholes. Senza semplificazioni come queste sull’efficienza dei mercati o sulle assunzioni di gaussianità di certe distribuzioni, probabilmente non avremmo modelli di pricing di classe così elevata e non potremmo servirci di una vastissima gamma di importanti teorie e modelli finanziari che fanno uso di queste ipotesi.

E’ un po’ come quando in fisica si assume l’assenza di arito o si ignorano gli effetti relativistici: farlo permette di elaborare leggi semplici, che una volta applicate andranno contestualizzate nella realtà del loro utilizzo.

Fatta questa precisazione, prendere atto che sui mercati esistano inefficienze ci porta ad una considerazione interessante:

l’expectancy si costruisce sull’informazione.

E’ la capacità di un pattern, impiegato da un trading system, di individuare questa componente (l’informazione) a determinare la positività o negatività del valore atteso di un sistema.

Lo schema riportato in Figura 4 dovrebbe aiutarci a comprendere meglio questa affermazione. Una componente di rumore a expectancy nulla (seconda curva) può sovrapporsi ad una componente di informazione sfruttabile (prima curva) per creare l’andamento della serie storica riportato nella terza curva.

Ci sarà sempre una componente randomica rumorosa, a expectancy zero, che va a sporcare le performance del nostro trading system, ma finchè è presente questa componente di informazione contenuta nei prezzi, e il trading system sarò in grado di intercettarla, il risultato sarà quello di una expectancy positiva.

Il rischio è che questo rumore possa facilmente diventare la componente su cui il trading system sta lavorando: questa situazione prende il nome di sovra-ottimizzazione o overfitting, e descrive la situazione in cui il trading system non stia facendo riferimento ad alcuna componente informativa, ma si adatti perfettamente al rumore passato, fino a generare un andamento assai “regolare”. Con l’impiego di semplice forza bruta computazionale, un tale risultato è piuttosto semplice da raggiungere.

Purtroppo nella realtà il rumore non è ciclico e facilmente prevedibile come rappresentato in Figura 4, ma caotico. Un trading system costruito sulla componente di rumore, non ha modo, al di fuori del backtest, di avere un’expectancy maggiore di zero; questo perché il rumore, su cui si basa, ha expectancy nulla, anzi negativa in quanto dobbiamo considerare i costi di transazione.

Nel mondo del retail trading esistono ancora persone che pensano che entrando nel mercato in modo completamente casuale, e sfruttando soltanto una specifica tecnica di position sizing (martingala o anti-martingala che sia), sia possibile estrarre profitto dal mercato in modo continuo.

Perché le martingale non funzionano?

La risposta è contraddittoria: in realtà funzionano. Quello che non funziona è il nostro capitale.

Assumendo uno scenario assolutamente irrealistico di avere a disposizione un capitale illimitato, una martingala funziona. La parte controintuitiva è che nessuna approssimazione di un capitale infinito, quindi un capitale arbitrariamente grande, è sufficiente a far funzionare una martingala. O infinito, o nulla.

Eliminando l’assunzione di un capitale infinito, teoricamente sarebbe possibile costruire una martingala che funzioni: per farlo basta assumere che i prezzi non possano diventare minori di zero. Prendiamo ad esempio il cambio GBPUSD: esso non può diventare minore di zero, ed il fatto che un prezzo sia vincolato alla positività ci permette di costruire una martingala solo long che funziona.

Se noi modulassimo la nostra esposizione in modo da tenere il punto di uscita in positivo a una distanza fissa, diciamo 100 pip, e avessimo capitale sufficiente da affrontare tutti i ribilanciamenti di portafoglio in cui incorremmo se il prezzo scivolasse a 0 senza mai ritracciare, allora avremmo costruito una martingala funzionante. Nella peggiore delle ipotesi, infatti, una volta giunto a 0 il prezzo (vincolato alla positività) non potrà che ritracciare portandoci quindi a chiudere la posizione in positivo.

Come mai, allora, una tale strategia non si può utilizzare?

La risposta è semplice: si può, ma i ritorni saranno talmente esigui rispetto al capitale necessario ad implementarla, che qualsiasi altro investimento risulterebbe più conveniente.
Tenendo il Take Profit a 100 pip dal punto di ultimo ribilanciamento, e ribilanciando il portafoglio ogni 50 pip, nel corso della caduta a 0 occorrerebbero circa 138 ribilanciamenti. Ogni ribilanciamento, inoltre, dovrà aumentare l’esposizione altrimenti il punto di pareggio si allontanerebbe trade dopo trade. Affinchè il punto di pareggio sia sempre alla stessa distanza è necessario raddoppiare l’esposizione a ogni ribilanciamento (martingala), e aggiungere una unità. Quindi se S(N) è la size del ribilanciamento N-esimo, essa segue questa successione:

La perdita accumulata al ribilanciamento N-esimo dunque, P(N), è la seguente:

La velocità con cui questa serie diverge è enorme: dopo appena 20 ribilanciamenti saremmo già sotto di più di 12 miliardi di pip, per una prospettiva di guadagno di appena cento pip.
Assumendo che tutti i 138 ribilanciamenti si rendano necessari affinchè la strategia funzioni sul lungo termine, la redditività sarebbe pari a:

0.000000000000000000000000000000000000000143% per trade.

Per battere un titolo di stato a rendimento positivo servirebbero miliardi e miliardi di trade.

E’ ovvio che tutto questo non ha senso.

Il lettore si sarà accorto, tuttavia, che in fondo questa strategia non si basa sul random trading. Essa ha, infatti, una componente predittiva: all’inizio abbiamo assunto che un prezzo non può essere minore di zero. Questa informazione ci permette di fare una stima sul futuro: ovvero che non dovremo mai sopportare più ribilanciamenti di quanti siano necessari per arrivare dal prezzo corrente a 0.

Se eliminiamo questa informazione, e assumessimo che un prezzo potesse diventare minore di 0 e che fosse quindi necessario ribilanciare anche oltre, ecco che l’expectancy passa rapidamente da 0.000000000000000000000000000000000000000143% a -100%.

Per la legge dei grandi numeri sul lungo termine non solo nulla è impossibile, ma tutto è certo.

Non importa quanto è largo lo spazio che avete a disposizione prima dell’estinzione, se non avete un valido motivo per ritenere che tale spazio non verrà percorso dalla vostra equity (componente informativa/predittiva) esso verrà sicuramente percorso e l’estinzione sopraggiungerà, come in un paio di esempi che abbiamo riportato in Figura 5.

Il punto è che una martingala può essere manipolata come si vuole, la si può allargare, restringere, alleggerire, appesantire… si può fare di tutto, ma la verità è questa:

Fino a che non si introduce una componente predittiva che sposti verso l’alto l’expectancy, una martingala non resta altro che una pessima strategia il cui epilogo non potrà essere che l’estinzione certa.

Il problema in tutto questo sta nel fatto che la formulazione del comportamento di una martingala rende molto semplice per il designer manipolare le componenti dell’equazione dell’expectancy, senza tuttavia cambiarla. E’ possibile rendere un trade perdente estremamente improbabile, così da “cammuffare” la martingala agli occhio di un osservatore poco attento, in un investimento infallibile. Come abbiamo detto l’expectancy non può cambiare, e perché sia possibile rendere meno probabile una perdita, tale perdita dovrà diventare molto più grande. Nel caso delle martingale che si vendono ai trader retail sul forex, i trade perdenti sono talmente rari (vengono mostrate equity praticamente rettilinee) che quando inevitabilmente avvengono, corrispondono alla completa distruzione dell’account.

Bisogna comunque menzionare che se una componente informativa fosse inclusa, e un opportuno limite all’esposizione massima previsto, una martingala altro non diventerebbe che un modo come tanti altri di pesare la propria posizione. Al pari dello scaling in, dello scaling out, e di tutte le altre metodologie che si studiano nell’ambito del money management, l’adozione di questa tecnica potrebbe migliorare il punto di ingresso medio, ottimizzare la pesatura dei trade in caso di significativa trade dependency, o accentuare l’esposizione assecondando la natura mean reverting o trend following di un mercato.

...ma approfondiamo meglio queste tematiche accanto a quelle legate allo sviluppo e all’analisi di robustezza di strategie meccaniche, nel corso: “Trading Automatico”, con 5 trading system che mettiamo a disposizione (a codice aperto) dalla prima edizione del 2013. Si tratta della giornata centrale del percorso Trading System Academy di QTLab, che puoi esaminare più in dettaglio qui.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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